波分复用与有向星林数

如果每条弧都标记为 $\{1, \dots,m\}$ 中的整数，则称有向图为 $m$-标记的。受光网络中多播波长分配的启发，我们引入并研究了标记有向图的 $n$-纤着色。这是对 $D$ 的弧进行着色，使得在每个顶点 $v$ 处，对于每种颜色 $\alpha$，满足 $in(v,\alpha)+out(v,\alpha)\leq n$，其中 $in(v,\alpha)$ 是进入 $v$ 且颜色为 $\alpha$ 的弧的数量，$out(v,\alpha)$ 是标签 $l$ 的数量，使得存在至少一条标签为 $l$ 且颜色为 $\alpha$ 的弧离开 $v$。问题在于找到最小颜色数 $\lambda_n(D)$，使得 $m$-标记有向图 $D$ 具有 $n$-纤着色。在 $D$ 为 $1$-标记的特殊情况下，$\lambda_1(D)$ 称为 $D$ 的有向星林数，记为 $dst(D)$。我们首先证明 $dst(D)\leq 2\Delta^-(D)+1$，并猜想若 $\Delta^-(D)\geq 2$，则 $dst(D)\leq 2\Delta^-(D)$。我们还证明对于次立方有向图 $D$，有 $dst(D)\leq 3$；且若 $\Delta^+(D), \Delta^-(D)\leq 2$，则 $dst(D)\leq 4$。最后，我们研究 \lambda_n(m,k)=\max\{\lambda_n(D) \tq D \mbox{是 m-标记的} \et \Delta^-(D)\leq k\}。我们表明，若 $m\geq n$，则对于某个常数 $C$，有 $\ds \left\lceil\frac{m}{n}\left\lceil \frac{k}{n}\right\rceil + \frac{k}{n} \right\rceil\leq \lambda_n(m,k) \leq\left\lceil\frac{m}{n}\left\lceil \frac{k}{n}\right\rceil + \frac{k}{n} \right\rceil + C \frac{m^2\log k}{n}$。我们猜想下界应为 $\lambda_n(m,k)$ 的正确值。