基于 Wasserstein 距离的 MCMC 收敛复杂性分析方法及其应用

在过去的 25 年里，基于漂移与小化(drift and minorization, d&m)的技术一直是 MCMC 算法收敛分析的主要手段。然而，本文给出的结果表明，在新兴的收敛复杂性分析领域中，d&m 可能用处不大；收敛复杂性分析研究的是蒙特卡洛马尔可夫链的收敛行为如何随样本量 $n$ 和/或协变量个数 $p$ 而缩放。问题似乎在于，随着维数增加，小化会成为严重的负担。本文研究了不要求小化、用于构造收敛速率界（相对于全变距离）的替代方法。这些方法基于 Wasserstein 距离和随机映射，所产生的界比基于 d&m 的界对维数增加具有显著更强的鲁棒性。基于 Wasserstein 的界被用于为贝叶斯 probit 回归和随机效应模型中的 MCMC 算法在 $n$ 与 $p$ 均很大的困难渐近 regime 下建立强收敛复杂性结果。