位置-尺度模型的扭曲黎曼度量

本文表明，在黎曼几何中扮演重要角色的扭曲黎曼度量，在信息几何中同样具有根本重要性。确切地说，本文提出一个新定理：任何定义在黎曼流形上的位置-尺度模型，只要在某个李群作用下保持不变，其 Rao-Fisher 信息度量就是一个扭曲黎曼度量。该定理是寻找定义在高维黎曼流形上的位置-尺度模型的 Rao-Fisher 信息度量表达式的一个宝贵工具。事实上，一个扭曲黎曼度量完全由仅依赖于单变量的两个函数确定，而与底层黎曼流形的维数无关。基于该定理，本文做出了若干原创性贡献。首次在文献中给出了黎曼高斯模型的 Rao-Fisher 信息度量的表达式。引入了马氏距离的广义定义，适用于任何定义在黎曼流形上的位置-尺度模型。对于任何以扭曲黎曼度量定义的 Rao-Fisher 信息度量，得到了测地线方程的解。最后，通过解析与数值混合计算，证明了 n 维方向数据的 von Mises-Fisher 模型，当其参数空间配备其 Rao-Fisher 信息度量时，对于 n = 2,...,8 成为一个 Hadamard 流形，即一个具有负截面曲率的单连通完备黎曼流形。希望在未来的工作中，这一结论能对任意 n 值得以证明。