与均值相关的正定矩阵上的黎曼度量

正定矩阵流形上的黎曼度量由一个核函数 $\phi$ 定义，形式为 $K_D^\phi(H,K)=\sum_{i,j}\phi(\lambda_i,\lambda_j)^{-1} Tr P_iHP_jK$，其中 $\sum_i\lambda_iP_i$ 是基点 $D$ 的谱分解，且厄米特矩阵 $H,K$ 是切向量。对于此类核度量，切空间具有正交分解。一个核度量在映射 $D\mapsto G(D)$ 下的拉回也是一个核度量。文献中的几种黎曼几何是特例，例如，多元高斯分布的 Fisher-Rao 度量和量子 Fisher 信息。本文主要研究 $\phi(x,y)=M(x,y)^\theta$ 的情况，其中 $M(x,y)$ 是正数 $x$ 和 $y$ 的一个均值。文中给出了关于测地曲线和测地距离的结果。几何均值、对数均值和均方根是重要的情形。