SPD矩阵上的O(n)不变黎曼度量
微分几何
2021-09-15 v2
摘要
对称正定（SPD）矩阵以协方差矩阵或相关系数矩阵的形式在数据分析中无处不在。在SPD锥上定义了几种O(n)不变黎曼度量，特别是由Hiai和Petz引入的核度量。核度量类在许多经典的O(n)不变度量之间插值，并且满足稳定性与完备性的关键结果。然而，它并不包含所有经典的O(n)不变度量。因此，在本工作中，我们研究核度量的超类，并考察哪些关键结果仍然成立。我们还引入了一个称为共度量稳定性（cometric-stability）的额外关键结果，这是用哈密顿公式实现测地线的重要性质。我们构建介于O(n)不变度量与核度量之间的中间嵌入类的方法，是给出SPD矩阵上整个O(n)不变度量类的刻画，并逐一指定对度量的要求直至达到核度量。作为次要贡献，我们综合了关于主要O(n)不变度量的文献，给出了仿射不变度量的截面曲率完整公式以及Bures-Wasserstein度量下可交换矩阵间测地线平行传输的公式。
引用
@article{arxiv.2109.05768,
title = {O(n)-invariant Riemannian metrics on SPD matrices},
author = {Yann Thanwerdas and Xavier Pennec},
journal= {arXiv preprint arXiv:2109.05768},
year = {2021}
}