游走精化、游走逻辑与 Weisfeiler-Leman 算法的迭代次数
计算机科学中的逻辑
2019-05-10 v2 离散数学
组合数学
摘要
我们证明了 2 维 Weisfeiler-Leman 算法至多经过 O(n log n) 次迭代即可稳定 n 个顶点的图。这意味着，如果此类图能在带计数的 3 变量一阶逻辑中区分，那么它们也能通过该逻辑中量词深度至多为 O(n log n) 的公式区分。为此，我们利用一种基于计数游走的新型精化，并论证其迭代次数与经典 Weisfeiler-Leman 精化相差至多一个对数因子。随后，我们借助半单矩阵代数的性质，用代数方法证明了游走精化迭代次数的匹配线性上界与下界。我们还定义了一种游走逻辑以及一种与新型游走精化精确对应的双射游走石子游戏。
引用
@article{arxiv.1905.03008,
title = {Walk refinement, walk logic, and the iteration number of the Weisfeiler-Leman algorithm},
author = {Moritz Lichter and Ilia Ponomarenko and Pascal Schweitzer},
journal= {arXiv preprint arXiv:1905.03008},
year = {2019}
}
备注
To appear at LICS 19