Weisfeiler-Leman算法的迭代次数

我们证明了$k$维Weisfeiler-Leman算法（$k$-WL）达到稳定所需迭代次数的新上界与下界。对于$k \geq 3$，我们证明$k$-WL至多经过$O(kn^{k-1}\log n)$次迭代后稳定（其中$n$表示输入结构的顶点数），这首次改进了$n^{k}-1$的平凡上界，并推广了先前对$k=2$的$O(n \log n)$上界[Lichter等人, LICS 2019]。我们以构造需$k$-WL至少$n^{\Omega(k)}$次迭代才能稳定的$k$元关系结构补充了上界结果，改进了先前的下界$n^{\Omega(k / \log k)}$[Berkholz, Nordstr\"{o}m, LICS 2016]。我们还研究了WL的维度与迭代次数之间的权衡，并证明$d$-WL（其中$d = \lceil\frac{3(k+1)}{2}\rceil$）仅需$O(k^2 \cdot n^{\lfloor k/2\rfloor + 1} \log n)$次迭代即可模拟$k$-WL算法，但对于任意$d$（足够小于$n$时）仍至少需要$n^{\Omega(k)}$次迭代。$k$-WL区分两个结构所需的迭代次数对应于带计数量词的首先逻辑$(k + 1)$变元片段$C_{k+1}$中区分它们的句子的量词秩。因此，我们的结果也意味着$C_{k+1}$逻辑中所需量词秩的新上界与下界，以及变元数与量词秩之间的权衡。