多辛拉格朗日气体动力学中的涡量与辛性

拉格朗日、多维、理想、可压缩气体动力学方程被写成多辛形式，其中拉格朗日流体标签 $m^i$（拉格朗日质量坐标）和时间 $t$ 是独立变量，而流体元的欧拉位置 ${\bf x}={\bf x}({\bf m},t)$ 和熵 $S=S({\bf m},t)$ 是因变量。变分原理中的约束通过拉格朗日乘子纳入。约束为：熵平流方程 $S_t=0$，拉格朗日映射方程 ${\bf x}_t={\bf u}$（其中 ${\bf u}$ 为流体速度），以及质量连续性方程，其形式为 $J=\tau$，其中 $J=\det(x_{ij})$ 是拉格朗日映射的雅可比行列式，其中 $x_{ij}=\partial x^i/\partial m^j$，$\tau=1/\rho$ 是气体的比容。单位体积气体的内能 $\varepsilon=\varepsilon(\rho,S)$ 对应于非正压气体。该拉格朗日量用于定义多动量，并推导 de-Donder Weyl 哈密顿方程。de Donder Weyl 方程被写成多辛形式。得到了拉回守恒律和辛性守恒律。一类辛性守恒律导出了涡量和势涡量型守恒律，另一类辛性定律与拉格朗日能量守恒律对拉格朗日质量坐标 $m^i$ 的导数有关。我们展示了涡量-辛性定律可通过李拖曳法推导，也可利用诺特定理第二定理和流体重标记对称性（它是作用量的散度对称性）推导。我们获得了描述方程的 Cartan-Poincar\'e 形式，并讨论了一组表示方程系统的微分形式。