基于变分神经网络的狄里克能体积-preserving几何形状优化
最优化与控制
2025-01-08 v4 数值分析
数值分析
摘要
本文探讨了使用神经网络方法求解几何形状优化问题的数值解法。该方法涉及最小化包含对域求解偏微分方程的数值准则，常需受几何约束（如恒定体积）的限制。我们成功地开发了一个灵活且可并行化的 methodology，以解决此类问题。我们聚焦于一个原型问题：在体积约束下最小化所谓的狄里克能，其中涉及中的泊松方程。我们使用变分神经网络来逼近给定域上泊松方程的解，并通过神经网络表示形状，以逼近从初始形状到最优形状的体积-preserving变换。将上述过程组合进单个优化算法中，以最小化狄里克能。该方法的一个显著优势是其内在的可并行性，这使得添加参数变得容易。此外，该方法无需依赖形状导数或伴随计算。我们在狄里克边界条件、参数右端项以及伯努利型自由边界问题上对该方法进行了测试。求解形状优化问题的源代码已开源并免费提供。
引用
@article{arxiv.2407.19064,
title = {Volume-preserving geometric shape optimization of the Dirichlet energy using variational neural networks},
author = {Amaury Bélières--Frendo and Emmanuel Franck and Victor Michel-Dansac and Yannick Privat},
journal= {arXiv preprint arXiv:2407.19064},
year = {2025}
}