拓扑空间的言语覆盖性质

对于任意拓扑空间 $X$，我们研究其上的泛一致性 $\mathcal U_X$、泛拟一致性 $q\mathcal U_X$ 与泛预一致性 $p\mathcal U_X$ 之间的关系。对于集合 $X$ 上的预一致性 $\mathcal U$ 和双字母字母表 $\{+,-\}$ 中的字 $v$，我们定义 $\mathcal U$ 的言语幂 $\mathcal U^v$ 并研究其有界数 $\ell(\mathcal U^v)$ 和 $\bar \ell(\mathcal U^v)$。典范预一致性 $p\mathcal U_X$、$q\mathcal U_X$ 和 $\mathcal U_X$ 的言语幂（的布尔运算）的有界数给出了拓扑空间 $X$ 的新基数特征 $\ell^v(X)$、$\bar \ell^v(X)$、$q\ell^v(X)$、$q\bar \ell^v(X)$、$u\ell(X)$，它们推广了所有已知的与（星）覆盖性质相关的基数拓扑不变量。我们研究新基数不变量 $\ell^v$、$\bar \ell^v$ 与经典基数拓扑不变量如 Lindelöf 数 $\ell$、密度 $d$ 和散布 $s$ 的关系。最简单的新言语基数不变量是前密度 $\ell^-(X)$，定义为：对拓扑空间 $X$，它是满足如下条件的最小基数 $\kappa$：对任意邻域指派 $(O_x)_{x\in X}$，存在子集 $A\subset X$ 满足基数 $|A|\le\kappa$ 且与每个邻域 $O_x$（$x\in X$）相交。显然 $\ell^-(X)\le d(X)\le \ell^-(X)\cdot \chi(X)$。我们将证明若 $|X|<\aleph_\omega$ 则 $\ell^-(X)=d(X)$。另一方面，对每个奇异基数 $\kappa$（满足 $\kappa\le 2^{2^{cf(\kappa)}}$）我们构造一个（完全不连通的）$T_1$ 空间 $X$ 使得 $\ell^-(X)=cf(\kappa)<\kappa=|X|=d(X)$。