齐性拓扑空间基数上界的综述

在本综述中，我们编录了过去几十年中关于具有齐性或类齐性性质的拓扑空间基数上界的诸多结果。这些结果包括 van Douwen 定理，其指出若 $X$ 是幂齐性 Hausdorff 空间则 $|X|\leq 2^{\pi w(X)}$，以及对其的改进：对具有相同性质的空问有 $|X|\leq d(X)^{\pi\chi(X)}$ 与 $|X|\leq 2^{c(X)\pi\chi(X)}$。我们还讨论了 de la Vega 定理，其指出若 $X$ 是齐性紧空间则 $|X|\leq 2^{t(X)}$，以及它近期在其它背景下的改进与推广。本参考文档还包含一张关于类齐性性质空间的最强已知基数上界表。作者选择给出若干证明以展示典型或基础的证明技术。最后给出若干新结果，值得注意的是：(1) 若 $X$ 是齐性 Hausdorff 空间则 $|X|\leq d(X)^{\pi n\chi(X)}$；(2) 若 $X$ 是正则齐性空间则 $|X|\leq \pi\chi(X)^{c(X)q\psi(X)}$。本文定义的不变量 $\pi n\chi(X)$ 具有性质 $\pi n\chi(X)\leq\pi\chi(X)$，因此 (1) 改进了齐性 Hausdorff 空间的界 $d(X)^{\pi\chi(X)}$。不变量 $q\psi(X)$ 具有性质 $q\psi(X)\leq\pi\chi(X)$ 且当 $X$ 为 Hausdorff 时 $q\psi(X)\leq\psi_c(X)$，因此 (2) 改进了正则齐性背景下的界 $2^{c(X)\pi\chi(X)}$。