随机、Ramanujan 及大围长非正则图的向量染色

我们证明，在平均度为 $d$ 的稀疏 Erd\H{o}s-R\'{e}nyi 图中，向量色数（源自 Lov\`{a}sz theta 函数的色数松弛）通常为 $\tfrac{1}{2}\sqrt{d} + o_d(1)$。这与一个长期存在的猜想相符：关于稀疏 Erd\H{o}s-R\'{e}nyi 图 $k$-染色的各种反驳与假设检验问题在‘Kesten-Stigum 阈值’ $d_{KS,k} = (k-1)^2$ 以下变得计算上难解。在此过程中，我们利用著名的 Ihara-Bass 恒等式和精心构造的无回随机游走，证明了两个具有独立意义的确定性结果：利用无回游走矩阵谱给出的向量色数（从而色数）下界，以及仅依赖于围长和泛覆盖的上界。我们的上界可等价视为 Alon-Boppana 定理对非正则图的推广。