欧几里得空间 $\bbr^{m+p}$ 中 $\xi$-子流形的变分刻画

欧几里得空间 $\bbr^{m+p}$ 中的 $\xi$-子流形是自收缩子概念在 $\bbr^{m+p}$ 中平均曲率流下的自然推广。它也是 Q.-M. Cheng 等人定义的 $\lambda$-超曲面到任意余维数的推广。在本文中，我们建立了 $\xi$-子流形的一些刻画。首先，证明了 $\bbr^{m+p}$ 中的子流形是 $\xi$-子流形，当且仅当其作为高斯空间 $(\bbr^{m+p},e^{-\fr{|x|^2}{m}}\lagl\cdot,\cdot\ragl)$ 中的子流形时，其修正平均曲率是平行的；然后，引入了两个加权体积泛函 $V_\xi$ 和 $\bar V_\xi$，并证明了 $\xi$-子流形可以刻画为这两个泛函的临界点；同时，计算了相应的第二变分公式，并系统地研究了 $\xi$-子流形的 ($W$-)稳定性性质。特别地，证明了在一个技术条件下，$m$-平面是唯一具有平坦法丛的、正常浸入的、完备的 $W$-稳定 $\xi$-子流形。如果能去掉这一附加限制，将会是非常有意义的。