L\'{e}vy Ornstein-Uhlenbeck 过程中异常的能谱与弛豫

我们考虑了处于谐振子势阱中的粒子在由 L\'evy 指数 $\mu$ 表征的 L\'evy 噪声作用下的弛豫速率。利用该 L\'evy Ornstein-Uhlenbeck 过程 (LOUP) 的传播子，我们证明了相关 Fokker-Planck 算子的本征值谱具有 $(n+m\mu)\nu$ 的形式，其中 $\nu$ 是表征势阱的力常数，$n,m\in\mathbb{N}$。若 $\mu$ 为无理数，则所有本征值均非简并；但若 $\mu$ 为有理数，则可能导致简并。我们证明了最大简并度为二。分数阶 Fokker-Planck 算子的左本征函数非常简单，而右本征函数可通过两种不同升算符的组合从最低本征函数获得。此外，我们发现可接受的本征函数应具有 $|x|^{-n_1+n_2\;\mu}$ 的渐近行为（当 $|x| \rightarrow \infty$ 时），其中 $n_1$ 和 $n_2$ 为正整数，尽管仅凭此条件尚不足以唯一确定它们。我们还断言，LOUP 的弛豫速率由相关分数阶 Fokker-Planck 算子的本征值决定，且若初始分布的各阶矩均有限，则弛豫速率不依赖于初始状态。如果初始分布具有肥尾（即高阶矩发散），则会出现非谱弛豫，正如 Toenjes 等人所指出的那样 (Physical Review Letters, 110, 150602 (2013))。