利用 Calinski-Harabaz 指数无监督学习拓扑相变

机器学习方法近期被应用于学习物质相及其之间的转变。尤其令人感兴趣的是拓扑相变，如 XY 模型中的相变，其可能难以被主成分分析等无监督学习处理。近期，[Nature Physics \textbf{15},790 (2019)] 的作者采用扩散映射方法识别拓扑序，并能够通过平均簇间距离 $\bar{D}$ 与簇内离散度 $\bar\sigma$ 的交叉（当不同簇从分离到混合时）确定 XY 模型的 BKT 相变。然而，若因拓扑约束导致 $\bar{D}$ 或 $\bar{\sigma}$ 变化不大，有时不易找到交叉点。本文中，我们提出使用 Calinski-Harabaz（$ch$）指数（大致定义为比值 $\bar D/\bar \sigma$）来确定临界点，此时 $ch$ 指数达到极大或极小值，或急剧跳跃。我们在若干统计模型中检验了 $ch$ 指数，包括含 BKT 相变的模型。对于 Ising 模型，量 $ch$ 或其分量的峰值与比热极大的位置一致。对于方阵与蜂窝阵上的 XY 模型，$ch$ 指数的结果显示在 Gaussian 核的参数 $\varepsilon/\varepsilon_0$ 一定范围内峰值收敛。我们还检验了 $q=2$ 和 $q=8$ 的广义 XY 模型及其偏离纯 XY 极限的值。因此，我们的方法对拓扑与非拓扑相变均有用，并能达到此前这些模型中监督学习方法的精度，并可用于从实验数据中搜索相。