随机切牌的剪辑混洗的普适性

对装有 $N$ 张卡片的牌组进行 Gilbert-Shannon-Reeds (GSR) 混洗，通过切掉顶部 $n\sim Bin(N,1/2)$ 张卡片并以均匀随机方式交错排列两个 resulting 堆。著名的 "Seven shuffles suffice" 定理 [Bayer-Diaconis '92] 确立了该马尔可夫链的 cutoff 现象：在精确的 $\frac{3}{2}\log_2 N$ 次混洗后，总变差混合精确地发生。后来的工作 [Lalley '00] 和 [Sellke '22] 将此结果推广到所有 $p\in (0,1)$ 的非对称二项切割 $n\sim Bin(N,p)$。这些结果严重依赖于二项条件，许多自然的链子仍未被解决，包括均匀随机切割和精确二分。我们在一般pile size distribution下的riffle混洗中建立了cutoff。也就是说，假设切割大小 $(n^{(t)})_{t\geq 1}$ 为 IID，且 $n^{(t)}/N \stackrel{d}{\to} \mu$ 对某个区间 $[0,1]$ 上的概率度量 $\mu$ 成立。则混合时间 $t_{mix}$ 满足 $t_{mix}/\log N\to \overline{C}_{\mu}$，其中 $\overline{C}_{\mu}$ 为显式常数。对于任何（确定性或随机）pile size序列，在所有宏观时间区间（长度为 $\Omega(\log N)$）上的经验分布收敛于 $\mu$ 时，同样适用。它还推广到将牌组在每一步切割成多个以上的多部分riffle混洗。定性地，我们发现 [Lalley '00] 的 "cold spot" 现象在riffle混洗的混合时间中占据主导地位。