含重复卡片牌堆的鸽尾洗牌

根据Bayer与Diaconis的著名结果，常见鸽尾洗牌的最大熵模型意味着，将一副标准52张牌混合所需的鸽尾洗牌次数为7或11——当前者为定义混合所用度量为全变距离、后者为分离距离时分别适用。该结果及其他相关结果均假设牌堆中全部52张牌互异，并要求牌堆的所有$52!$种排列几乎等可能，才认为牌堆已充分混合。在许多情形中，并非所有牌都互异，且只需发给各玩家的牌的集合（而非发给每位玩家的顺序）随机即可。我们推导了含重复卡片牌堆在鸽尾洗牌下的转移概率，以涵盖刚描述的此类情形。我们聚焦于所有卡片均标为1或2的牌堆，并描述了具有$1,...,1,2,...,2$或$1,2,...,1,2$形式的对称初始牌堆的后果。最后，我们考虑常见纸牌游戏的混合时间。