正则严格 Borel 子代数在内自同构下的唯一性

Külshammer、König 和 Ovsienko 证明，对任意拟遗传代数 $(A,\leq_A)$，存在一个 Morita 等价的拟遗传代数 $(R, \leq_R)$，它包含一个基本严格 Borel 子代数 $B$。所得到的 Borel 子代数实际上是一个正则严格 Borel 子代数。后来，Conde 证明，给定一个带有基本正则严格 Borel 子代数 $B$ 的拟遗传代数 $(R,\leq_R)$ 和一个带有基本正则严格 Borel 子代数 $B'$ 的 Morita 等价拟遗传代数 $(R',\leq_{R'})$，代数 $R$ 和 $R'$ 是同构的，并且 Külshammer 和 Miemietz 证明甚至存在一个同构 $\varphi:R\rightarrow R'$ 使得 $\varphi(B)=B'$。在本文中，我们证明如果 $R=R'$，那么 $\varphi$ 可以被选为一个内自同构。此外，我们不仅对拟遗传代数的正则严格 Borel 子代数证明这一点，还将其推广到任意有限维代数的一类合适的子代数上。作为一个应用，我们证明如果 $(A, \leq_A)$ 是一个有限维代数，且 $G$ 是一个通过自同构作用于 $A$ 的有限群，那么在一些自然的相容性条件下，存在一个 Morita 等价的拟遗传代数 $(R, \leq_R)$ 及其一个基本正则严格 Borel 子代数 $B$，使得对每个 $g\in G$ 都有 $g(B)=B$。