纯化的唯一性等价于 Haag 对偶性

系统 $A$ 上量子态的纯化在纯化系统 $B$ 上局部酉变换下的唯一性是量子信息理论的核心。我们证明，如果这两个系统由 Hilbert 空间 $\mathcal H$ 上交换的 von Neumann 代数 $M_A$ 和 $M_B$ 建模，那么纯化的唯一性等价于 Haag 对偶性 $M_A = M_B'$。特别地，在具有无限自由度的系统中，纯化的唯一性可能失效——即使当 $M_A$ 和 $M_B$ 是交换的因子，它们共同生成 $B(\mathcal H)$，从而允许对 $\mathcal H$ 上所有密度矩阵进行局部层析成像时也是如此。