补充恢复唯一性：关于全息误差纠错码的论述

全息码是一类具有额外几何结构的误差纠错码，具备“补充恢复”属性：给定物理希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 的划分 $\mathcal{H}_A$ 和 $\mathcal{H}_{\bar A}$，以及物理算子代数 $\mathcal{M}\subseteq (\mathcal{L}(\mathcal{H}_A)\otimes I_{\mathcal{H}_{\bar A}})$，可由 $\mathcal{M}$ 创建的逻辑算子 $\mathcal{L}(\mathcal{H}_L)\simeq \mathcal{L}(P\mathcal{H})$，与那些其期望值不可被 $\mathcal{M}$ 的互补子 $\mathcal{M}^\prime$ 所影响的逻辑算子完全相同，反之亦然。在 arXiv:2110.14691 中，曾阐述唯一性定理：唯一可能的 (码、二分、代数) 三元组即为最大化情况 $\mathcal{M}=P(\mathcal{L}(\mathcal{H}_A)\otimes I_{\mathcal{H}_{\bar A}})P$。我们指出该结果的一个反例，借助 arXiv:2110.14691 中提出的四量子比特码的一种“非相邻”二分法。我们指出唯一性失效源于未对 $\mathcal{H}_{\bar A}$ 的消失错误进行纠错，这要求对每一对错误算子满足代数 Knill-Laflamore 条件 $[P E_i^\dagger E_j P,\mathcal{M}]=0$。当我们增加 $\mathcal{M}$ 相对于该信道可纠错的要求后，唯一性得以恢复，我们重新证明了 arXiv:2110.14691 的定理，并加入此假设。我们列出了在 arXiv:2110.14691 中提出的“原子”全息码的所有二分法，说明这些二分法可被违反可纠错假设。