$\mathbb{R}^3$ 中二维极小锥的唯一性

本文处理两个紧密相关的问题：1) 具有正则边界的区域中 Almgren 极小集的上半连续性性质，它保证了唯一性性质是良定义的；2) $\mathbb{R}^3$ 中所有二维 Almgren（相应为拓扑）极小锥的 Almgren（相应为拓扑）唯一性性质。如 \cite{2T} 所证，当若干个二维 Almgren（相应为拓扑）极小锥是测度与 Almgren（相应为拓扑）滑动稳定，且 Almgren（相应为拓扑）唯一的，它们的几乎正交并仍保持极小。作为推论，本文结果连同 \tb{\cite{stablePYT} 与 \cite{stableYXY}} 中证明的测度与滑动稳定性性质，允许我们利用 $\mathbb{R}^n$ 中所有已知的二维极小锥，通过取它们的几乎正交并来生成新的极小锥族。上半连续性性质在多种情形下也有助益：当我们必须借助 Hausdorff 极限进行论证而某些性质不传递到极限时，上半连续性可充当桥梁。例如，它在 \cite{2T} 全文中起着非常重要的作用。