一类非线性最小二乘问题解的唯一性与稳定性

本文关注非线性最小二乘问题：$\mbox{min}_{\mathbf{x} \in \mathbb{H}^d}\| |A\mathbf{x}|-\mathbf{b}\|$ 其中 $A\in \mathbb{H}^{m\times d}$，$\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m$ 且 $\mathbb{H} \in \{\mathbb{R},\mathbb{C} \}$，并考察解的唯一性与稳定性。该问题出现在例如相位恢复与绝对值整流神经网络中。对于存在某个 $\mathbf{x}_0\in \mathbb{H}^d$ 使得 $\mathbf{b}=|A\mathbf{x}_0|$ 的情形，已有许多刻画解的唯一性与稳定性的结果。然而，对于任意 $\mathbf{x}_0\in \mathbb{H}^d$ 均有 $\mathbf{b} \neq |A\mathbf{x}_0|$ 的情形，据我们所知尚无任何现有结果。本文首先关注解的唯一性，并证明对任意矩阵 $A\in \mathbb{H}^{m \times d}$ 总存在向量 $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m$ 使得解不唯一。但在实情形下，此类“坏”向量 $\mathbf{b}$ 可忽略不计，即若 $\mathbf{b} \in \mathbb{R}_{+}^m$ 不落在某个零测集上，则解唯一。我们也给出了解唯一的一些条件。对于解的稳定性，我们证明解绝不会是一致稳定的。但若将向量 $\mathbf{b}$ 限制于任意凸集，则它是稳定的。