对称矩阵的单模族

我们引入了对称矩阵值映射芽之间的保体积等价，它是 Bruce 的 $\mathcal{G}$-等价 的单模版本。由相对于 $\mathcal{G}$-等价的分类推导出单模分类的关键概念是对称拟齐次性，它是 Bruce、Goryunov 和 Zakalyukin 在推论~2.1 (ii) 中关于 $2 \times 2$ 对称矩阵值映射芽条件的推广。若一个 $\mathcal{G}$-等价类包含一个对称拟齐次的代表元，则该类与相对于保体积等价的类一致（在基域为实数时，可差一个反向定向微分同胚）。利用这一点，我们证明了 Bruce 列表中所有相对于 $\mathcal{G}$-等价的简单类都与相对于保体积等价的类一致。接着，我们对从平面到 $2 \times 2$ 和 $3 \times 3$ 实对称矩阵集合、余秩至多为 $1$ 且 $\mathcal{G}_e$-余维数小于 $9$ 的映射芽进行了分类，并展示了某些范式分裂为两个不同的单模奇点。我们提供了若干例子来说明：非简单性并不蕴含非对称拟齐次性，且映射芽为对称拟齐次的条件强于其每个分量均为拟齐次的条件。我们还给出了一个相对于 $\mathcal{G}$ 的非对称拟齐次范式及其对应的形式单模范式。