$\mathbb{T}^d$ 中的均匀分布轨道与奇异替换动力系统

我们找到了替换 $\mathbb{Z}$-作用谱奇异性的充分条件，其推广了 arXiv:2003.11287 定理 2.4 中给出的条件，并且我们还获得了一组替换 $\mathbb{R}$-作用（包括自相似作用）的类似结论。为实现此目的，我们首先研究了相关环面自同态轨道的分布。特别地，给定一个环面自同态和一个向量 $\mathbf{v}\in\mathbb{Q}^d$，我们找到了对于几乎每个 $\omega\in\mathbb{R}$，轨道 $\omega\mathbf{v}$ 模 $1$ 均匀分布必要且充分的条件。我们利用我们的结果找到了奇异替换 $\mathbb{Z}$-与 $\mathbb{R}$-作用的新例子。