排除过程的逆轨道、扩散-广泛-顺从性与区间交换的（非？）顺从性

近期突破性工作 [6,8,9] 确立了若干新群类的顺从性，引出如下问题：$W(\mathbb{Z}^d) \curvearrowright \mathbb{Z}^d$ 的作用是否广泛顺从？（其中 $W(\mathbb{Z}^d)$ 是置换 $\sigma:\mathbb{Z}^d \to \mathbb{Z}^d$ 且具有有界范围的{\em 摆动群}）。这等价于问作用 $(\mathbb{Z}/2\ \mathbb{Z})^{(\mathbb{Z}^d)} \rtimes W(\mathbb{Z}^d) \curvearrowright (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{(\mathbb{Z}^d)}$ 是否顺从。$d=1$ 与 $d=2$ 已分别在 [6,8] 中解决。由 [9]，该问题的肯定回答将推出 IET 群的顺从性。本工作中，我们通过引入广泛-顺从性概念的一个自然强化——称之为扩散-广泛-顺从性，给出该问题的部分回答。我们的主要结果是：对任意有界度图 $X$，作用 $W(X)\curvearrowright X$ 是扩散-广泛-顺从的当且仅当 $X$ 是常返的。我们的证明基于在 $W(X)\, <\, \mathfrak{S}(X)$ 上构造合适的随机过程 $(\tau_t)_{t\geq 0}$，其{\em 逆轨道} $$\bar O_t(x_0) = \{x\in X, \exists s\leq t,\, \tau_s(x)=x_0\} = \bigcup_{0\leq s \leq t} \tau_s^{-1}(\{x_0\})$$ 在 $X$ 为暂态时以指数方式不太可能成为亚线性的。该结果引导我们猜想：当 $d\geq 3$ 时作用 $W(\mathbb{Z}^d) \curvearrowright \mathbb{Z}^d$ 不是广泛顺从的，且可能需要不同路径来探讨 IET 群的（非？）顺从性。