Heisenberg 群上的展开算子及其在齐次化中的应用

周期展开方法是多尺度收敛之后研究多尺度问题(如齐次化问题)的最新工具之一。它很好地揭示了问题中涉及的各种微观尺度,可方便且容易地应用于得到渐近极限。本文中,我们针对具有非交换群结构的 Heisenberg 群发展了*周期展开*。为此,对应于周期胞元引入了 Heisenberg 群的最大整数部分、小数部分的概念。类比于欧氏展开算子,我们证明了积分等式、$L^2$ 弱紧性、展开梯度收敛以及其他相关性质。此外,我们有展开算子的伴随算子,可视为一种平均算子。作为展开算子的应用,我们对具有振荡系数的标准椭圆 PDE 进行了齐次化。我们还考虑了一个最优控制问题,并用展开算子刻画了内部周期最优控制。