射影三维空间中 60 点 Klein 构型的意外性质

Felix Klein 在研究正二十面体及其对称性时遇到了 ${\mathbb P}^3$ 中一个高度对称的 60 点构型。该构型以各种形式出现，或许最著名的是作为 Shephard-Todd 列表中 $G_{31}$ 群的 60 个反射平面所对偶的点构型。在本文中，我们展示了这 60 个点表现出从最近发起的两条研究路径来看令人感兴趣的性质。首先，它们产生两个完全不同的意外六次曲面。意外超曲面由 Cook II、Harbourne、Migliore、Nagel 于 2018 年引入。与 60 点构型相关的意外曲面之一是一个具有单个重数为 $6$ 的奇点的锥，另一个具有重数为 $4,2$ 和 $2$ 的三个奇点。其次，Chiantini 和 Migliore 在 2020 年观察到 ${\mathbb P}^3$ 中存在非平凡点集具有令人惊讶的性质：它们到 ${\mathbb P}^2$ 的一般投影是完备交。他们找到了这样一族点集，称之为网格（grids）。他们论文的附录描述了一个 ${\mathbb P}^3$ 中 24 点的奇异构型，它不是网格但具有一般投影为完备交的显著性质。我们证明 Klein 构型也不是网格，并且它投影为完备交。我们还确定了具有同样性质它的真子集。