意外超曲面及其何处可寻

在 Cook 等人最近引入意外平面曲线概念的论文中,焦点在于理解曲线本身的几何。此处我们将定义推广到任意维超曲面,并利用涉及代数、几何、表示论与计算的结构,得到了意外超曲面的一个粗略但完备的分类。特别地,我们确定了每一组 $(n,d,m)$,使得存在某个有限点集 $Z\subset\mathbb P^n$,其在 $\mathbb P^n$ 中具有一个以一般点 $P$ 为 $m$ 重数的 $d$ 次意外超曲面。我们的构造也对去何处寻找这样的 $Z$ 这一有趣问题给出了新的见解。Di Marca、Malara 和 Oneto \cite{DMO} 以及 Bauer、Malara、Szemberg 和 Szpond \cite{BMSS} 近期的工作给出了 $\mathbb P^2$ 和 $\mathbb P^3$ 中的新结果和例子。我们利用一种涉及锥的意外超曲面新构造得到了主要结果。该方法适用于 $n \geq 3$ 的 $\mathbb P^n$,并给出广泛的例子,我们将其与弱 Lefschetz 性质(Weak Lefschetz Property)的某些失效联系起来。我们还利用根系给出了构造,既在 $\mathbb P^2$ 中,也在 $n \geq 3$ 的 $\mathbb P^n$ 中。最后,我们解释了 \cite{BMSS} 中的一个观察,表明 \cite{CHMN} 中的意外曲线在某种意义下对偶于其在奇点处的切锥。