Grassmann 流形上的不等维小球与量化

Grassmann 流形 $G_{n,p}(L)$ 是 $n$ 维欧几里得空间 $L^{n}$ 中所有过原点的 $p$ 维平面的集合，其中 $L$ 为 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$。本文研究了一种不等维量化，其中 $G_{n,p}(L)$ 中的信源通过 $G_{n,q}(L)$ 中的码进行量化，且 $p$ 和 $q$ 不一定相同。这不同于文献中大多数 $p\equiv q$ 的工作。对不等维量化的分析基于 $G_{n,p}(L)$ 中度量球的体积，其中心位于 $G_{n,q}(L)$ 中。我们的主要结果是当半径足够小时，度量球体积的闭式公式。该体积公式适用于任意 $n$、$p$、$q$ 和 $L$ 的 Grassmann 流形，而此前的结果仅适用于某些特殊情况。基于此体积公式，在假设量化速率足够高的前提下，推导了率失真权衡的几个界限。失真率函数的下界和上界在渐近意义上是相同的，从而精确量化了渐近率失真权衡。我们还表明，随机码在渐近意义上是最优的，即当 $n$ 和码率线性趋于无穷大时，它们以概率 1 达到最小可实现失真。最后，我们讨论了所得结果在通信理论中的一些应用。为加性高斯白噪声信道的容量计算建立了 Grassmann 流形中的几何解释。此外，推导出的失真率函数有助于表征多天线通信中波束成形矩阵选择的效果。