ZFA 模型中隶属关系的无向化

已知，如果取 Zermelo--Fraenkel 集合论 ZFC 的一个可数模型并“无向化”其隶属关系（即，若 $x\in y$ 或 $y\in x$，则将 $x$ 与 $y$ 相连以构成图），我们将得到 Erd\H{o}s--R\'enyi 随机图。该证明中的关键公理是基础公理，因此自然地会想到，如果删除该公理，或将其替换为替代公理（如 Aczel 的反基础公理），会发生什么。所得的图可能不是简单图，它可能包含环（若对某个 $x$ 有 $x\in x$）或重边（若对某个 $x,y$ 有 $x\in y$ 且 $y\in x$）。我们证明，在 ZFA 中，如果保留环并忽略重边，我们将得到“随机带环图”（它是 $\aleph_0$-范畴且齐次的）；但如果保留重边，所得的图不是 $\aleph_0$-范畴的，而是具有无穷多个 $1$-型。此外，如果仅保留环和双重边并丢弃单边，所得图包含可数无穷多个连通分支，且每个分支同构于任意给定的带环有限连通图。