无界符号、热流与 Toeplitz 算子

我们反驳了 Bargmann 空间上 Toeplitz 算子的 Berger--Coburn 热流猜想向自然定义域的推广，并将失效机制归结为对符号模平方的高斯平均的点态控制与一致控制之间的差距，这一差距对线性形式 $T_g$ 是不可见的。我们证明了形式定义的算子 $T_g$ 和自然定义域算子 $U_g$ 在无界符号情形下发生解耦：$T_g$ 由线性平均控制，而 $U_g$ 由 $|g|^2$ 的二次强度控制。我们构造了一个光滑、非负的径向符号 $g$，它满足相干态容许性假设，且对所有时间 $t>0$ 具有有界热变换；对于该符号，$T_g$ 是有界的，而 $U_g$ 是无界的。这是一个严格的全局现象：在相干态假设下，局部奇异性不足以引起无界性，使得“无穷远处的几何”成为唯一的障碍。$U_g$ 的有界性等价于 $|g|^2 d\mu$ 是 Fock--Carleson 测度的条件，该条件严格强于控制 $T_g$ 的线性平均 $g d\mu$。最后，关于已知亚临界充分性条件与临界热时间之间的差距，我们证明了在此背景下热流正则性是不可逆的，并表明自举策略无法解决充分性与临界时间之间的差距。