B型广义三角剖分与行列式理想

对于 $n\geq 3$,令 $\Omega_n$ 为凸 $n$ 边形顶点之间的线段集合。对于 $j\geq 2$,一个 $j$ 交叉是指 $j$ 条线段在 $n$ 边形相对内部两两相交的集合。我们识别 $\Omega_{2n}$ 中可通过 $2n$ 边形的 $180^\circ$ 旋转相互转化的线段。令 $\F_n$ 为识别后的 $\Omega_{2n}$ 集合,则B型广义三角剖分的复形 $\D_{n,k}$ 是不包含上述意义下任何 $(k+1)$ 交叉的 $\F_n$ 子集所构成的单纯复形。我们证明 $\D_{n,k}$ 是一个纯的、维数为 $k(n-k)-1+kn$ 的复形,并可分解为一个 $kn-1$ 单形和一个 $k(n-k)-1$ 维同调球面。我们在变量 $X_{ij}, 1\leq i,j\leq n$ 的单项式上给出一个项序,使得由一般 $n \times n$ 矩阵的 $(k+1)$ 乘 $(k+1)$ 子式生成的行列式理想的相应初始理想包含 $\D_{n,k}$ 的 Stanley-Reisner 理想。我们证明当 $k\in\{1,n-2,n-1\}$ 时这些子式构成 Gr"obner 基。我们猜想该结果对所有 $k<n$ 的值都成立。