两种在强耦合下有效的级数展开

众所周知，量子力学（QM）和量子场论（QFT）中耦合的幂次微扰展开是渐近级数。这在弱耦合下有用，但在强耦合下失效。在这项工作中，我们提出了两种在强耦合下有效的级数展开。我们将该级数应用于一个基本积分以及一个包含二次项和四次项且耦合常数为$\lambda$的QM路径积分。第一个级数是通常的渐近级数，其中四次相互作用按$\lambda$的幂次展开。第二个级数是二次部分的展开，而相互作用保持不变。这产生了一个在$\lambda$的逆幂次下绝对收敛的级数，在强耦合下有效。对于基本积分，我们重新审视第一个级数，并找出即使原始积分是有限的，它发散的原因。我们解决了这个问题，并显著地得到了一个耦合幂次的级数，该级数绝对收敛且在强耦合下有效。我们解释了该级数如何避免戴森关于收敛性的论证。然后我们考虑QM路径积分（离散化，时间间隔分为$N$个相等段）。与之前一样，第二个级数是绝对收敛的，我们通过取广义超几何函数的泛函导数，得到了$\lambda$逆幂次下第$n$阶项的解析表达式。这些表达式是$N$的函数，我们明确地计算到三阶。一般过程已在Mathematica程序中实现，该程序可生成任意阶$n$的表达式。我们给出了不同$N$值（从$N=2$开始）在强耦合下的数值结果。该级数与给定$N$的精确数值结果匹配（达到一定精度）。当$N\to\infty$时形式上达到连续极限，但实际上可以在小的$N$下达到。