Wedderburn-Artin 定理的两个推广及其应用

我们说一个 $R$-模 $M$ 是{\it 虚单的}（virtually simple），如果 $M\neq (0)$ 且对 $M$ 的每个非零子模 $N$ 有 $N\cong M$；是{\it 虚半单的}（virtually semisimple），如果 $M$ 的每个子模都同构于 $M$ 的一个直和项。我们研究了虚半单模以及虚单模的直和构成的模。我们的理论提供了 Wedderburn-Artin 定理的两个自然推广以及经典 Krull-Schmidt 定理的一个类比。指出了这些定理的一些应用。例如，证明了对于环 $R$ 以下陈述等价：(i) 每个有限生成左（右）$R$-模是虚半单的；(ii) 每个有限生成左（右）$R$-模是虚单模的直和；(iii) $R\cong\prod_{i=1}^{k} M_{n_i}(D_i)$，其中 $k, n_1,\ldots,n_k\in \Bbb{N}$ 且每个 $D_i$ 是一个主理想 V-域；（iv）每个非零有限生成左 $R$-模可以唯一地（在同构和因子顺序意义下）写成形式 $Rm_1 \oplus\ldots\oplus Rm_k$，其中每个 $Rm_i$ 要么是一个单 $R$-模，要么是 $R$ 的一个左虚单直和项。