双频受迫 Faraday 波:弱阻尼模态与图样选择

近期关于双频参数激励表面波的实验(Kudrolli, Pier and Gollub, 1998)在一个余维二分歧点附近展示出一种引人入胜的“超晶格”波图样,该处次谐与谐波同时起振,但具有不同空间波数。该超晶格图样与强迫同步,在大尺度六方晶格上空间周期,并呈现小尺度三角结构。类似图样已被证明作为一般的 12 维 $D_6\dot{+ }T^2$ 等变分歧问题的原解分支存在,并可能在该分歧问题的非线性系数满足某些不等式时稳定(Silber and Proctor, 1998)。此处我们利用问题的空间与时间对称性论证:弱阻尼谐波可能对理解 Faraday 系统中该图样的稳定化至关重要。我们通过考虑 Zhang 与 Vinals(1997, J. Fluid Mech. 336)针对半无限流体层上小振幅、弱阻尼表面波所建立的方程来说明此机制。我们计算了描述激发频率比为 2/3 与 6/7 时图样起振的分歧方程中的相关非线性系数。对于 2/3 情形,我们表明在余维二点附近,次谐与不稳定性谐波图样选择问题存在根本差异。此外,我们发现 6/7 情形因存在额外的弱阻尼谐模而与 2/3 情形显著不同。这些额外的谐模可导致超图样的稳定化。