扭曲的 Takens：稠密轨迹上良好观测的几何刻画

在非线性时间序列分析与动力系统理论中，Takens 嵌入定理指出，状态空间中沿轨迹的通用观测的滑动窗口嵌入可恢复动力学所遍历的区域。例如，这可用于表明周期信号的滑动窗口嵌入恢复拓扑环，而准周期信号的滑动窗口嵌入恢复高维环面。然而，尽管有这些启发性的例子，Takens 定理一般并未规定在给定的状态空间特定动力学下如何选取这样的观测函数。本工作中，我们给出了定义在紧黎曼流形上的观测函数的条件，这些条件可对特定动力学实现成功的重构。我们应用理论并构造了若干时间序列族，其滑动窗口嵌入描绘出环面、Klein 瓶、球面与射影平面。这极大地丰富了已知通过滑动窗口嵌入集中于各种形状的时间序列例子，并有望帮助其他研究者在自然现象中识别它们。我们还展示了数值实验，通过使用滑动窗口嵌入的持久上同调与 Eilenberg-MacLane（即圆与实射影）坐标，来恢复状态空间上底层动力学的低维表示。