非线性动力系统信息损失的 Wasserstein 几何

时间延迟嵌入是一种强大的技术，用于重构非线性时间序列的状态空间。然而，重构的保真度依赖于时间延迟映射是嵌入的假设，而该假设在实践中很少被仔细检视。本文我们认为时间延迟重构并非总是嵌入，由给定测量函数引起的映射的非单射性导致不可还原的信息损失，降低下游模型性能。我们的分析揭示，这一局部自身重叠源于由动力学特性和曲率惩罚之间的竞争所支配的内在动力学特性，以及不可还原的信息损失随几何分离与概率质量的乘积而扩大。我们建立了一个度量论框架，将动力学提升到概率测度的空间中，其中由非单射性引起的多值演化通过 $n$ 步条件核 $K^{n}(x, \cdot)$ 偏离 Dirac 质量的程度来量化，并引入内在随机性 $\mathcal{E}^{*}_{n}$，作为一种几乎处处、数据驱动的确定性闭合证书，用于在无任何先验信息的情况下量化不可还原的信息损失。我们演示了 $\mathcal{E}^{*}_{n}$ 在合成数据和真实世界非线性数据集上提高了重构质量和下游模型性能。