顶点代数与 Zhu 对应定理的扭转 $\phi$-坐标模块

设 $V$ 为顶点代数，$g$ 为 $V$ 的一个阶为 $T$ 的自同构。对于任意 $n, m \in (1/T)\mathbb{N}$，我们构造了一个 $\tilde{A}_{g,n}(V)\!-\!\tilde{A}_{g,m}(V)$-双模 $\tilde{A}_{g,n,m}(V)$，其中 $\tilde{A}_{g,n}(V)$ 表示作者们在文献 \cite{Shun1} 中构造的关联代数。我们引入 $(1/T)\mathbb{N}$-graded $g$-扭转 $\phi$-坐标 $V$-模的概念，并证明了简单 $\tilde{A}_{g}(V)$-模与不可约 $(1/T)\mathbb{N}$-graded $g$-扭转 $\phi$-坐标 $V$-模之间存在双射，其中 $\tilde{A}_{g}(V)=\tilde{A}_{g,0}(V)$。我们构造了通用 enveloping 代数 $U(V[g])$，显示 $\tilde{A}_{g}(V)$ 是其亚商。当 $V$ 为顶点算子代数时，我们证明每个 $\tilde{A}_{g,n,m}(V)$ 与 Dong 与 Jiang \cite{DJ2} 构造的 $A_{g,n}(V)-A_{g,m}(V)$-双模 $A_{g,n,m}(V)$ 同构。我们也证明了不可约 $g$-扭转 $V$-模与不可约 $(1/T)\mathbb{N}$-graded $g$-扭转 $\phi$-坐标 $V$-模之间存在双射。