双子：被强制成为同构的非同构模型。第一部分

对于哪些（第一阶完备，通常可数）$T$，是否存在非同构的模型，这些模型在使用强制概念 $\mathbb{P}$ 后变为同构？必要情况下，$\mathbb{P}$ 必须是非平凡的；即，它添加了一些序数集合。最好我们还要求它不会消灭任何基数。最理想的做法是一方面要求模型是非同构的，甚至**彼此远离**（在某种合适意义下），另一方面要求它们在某种合适的逻辑 $\mathcal{L}$ 中等价。在理论上，我们给出了充分条件：对于具有独立性属性的理论，我们在 $\mathbb{P}$ 不添加新的 $\omega$ 序列时证明了这一点。我们可以证明它“对于某个 $\mathbb{P}$”，但更好的做法是针对具体的强制概念。最理想的做法是刻画使得我们拥有此类模型的 $(T,\mathbb{P})$ 对。该结果表明（例如），存在模型 $M_1,M_2$ 它们不是同构的（甚至**在严格意义上远离同构**），但当我们通过添加树 $({}^{\theta>}2,\lhd)$ 的新分支后，它们变为同构。我们将提及一些具体的 $\mathbb{P}$ 选择：主要是 ${(\theta>2,\lhd)}$ 其中 $\theta = \theta^{<\theta}$。也就是说，读者只需同意，从集合论中的一个宇宙 $\mathbf{V}$（即 $ZFC$ 的模型）和一个准序 $\mathbb{P}$ 开始，存在新的有向 $\mathbf{G} \subseteq \mathbb{P}$ 每个 $\mathbb{P}$ 的稠密子集 $D$ 都被满足，宇宙 $\mathbf{V}[\mathbf{G}]$（即它满足 $ZFC$）的原始 $\mathbf{V}$ 是其传递子类。我们可以说 $\mathbf{V}[\mathbf{G}]$（也写作 $\mathbf{V}^\mathbb{P}$）是使用 $\mathbb{P}$ 进行强制获得的宇宙。本工作不需要对强制或稳定性理论有任何深入的了解。这属于分类与 {主间隙} 项目的一部分。