用不可数序数的副本进行力迫

对于关系结构X，我们研究偏序⟨P(X),⊂⟩，其中P(X):={f[X]: f∈Emb(X)}。这里我们考虑不可数序数。由于sq P(α)同构于直积∏_{i=1}^n (sq P(ω^{δ_i}))^{s_i}，其中α=ω^{δ_n}s_n+⋯+ω^{δ_1}s_1+m是α的康托尔标准形式，分析简化为对形如P(ω^δ)的偏序集的研究。结果表明，在ZFC中，要么偏序集sq P(α)是σ-闭的并且完全嵌入P(ω)/Fin，因此保持ω_1并迫使|c|=|h|，要么完全嵌入代数P(λ)/[λ]^{<λ}，对于某个正则的ω<λ≤cf(δ)，并将ω_2坍缩到ω。关于康托尔标准形式，第一种情况出现当且仅当对于每个i≤n有cf(δ_i)≤ω，或者δ_i=θ_i+cf(δ_i)，其中Ord∋θ_i≥cf(δ_i)>cf(θ_i)=ω且θ_i=lim_{n→ω}δ_n，其中对于所有n∈ω有cf(δ_n)=cf(δ_i)。