射影直线上的十二点、分支覆盖与有理椭圆纤维化

在 $P^1$ 上十二点空间 Sym^{12} P^1 中的以下除子实际上是相同的:(A) 有理椭圆纤维化(即平面三次曲线束)中十二个结点纤维的可能轨迹;(B) 可表示为立方加平方的 12 次二元形式;(C) 从平面上一般点到光滑平面四次曲线的十二条切线的轨迹;(D) 从超椭圆亏格 3 曲线到 $P^1$ 的 4 次映射的分支轨迹;(E) 由 theta 特征诱导的从亏格 4 曲线到 $P^1$ 的 3 次映射的分支轨迹;以及另外几个。相应的模空间是光滑的,但它们并不都同构;其中一些是其他的有限 étale 覆盖。我们描述了这些空间之间互联的网,并给出了单值、有理性与 Prym 相关的推论。计数推论包括:(i) 该轨迹的次数为 3762(例如,在基的 11 个给定一般点上方有 3762 个带结点的有理椭圆纤维化);(ii) 若 C --> P^1 是如 (D) 中的覆盖,则在同一分支点处有 135 个不同的此类覆盖;(iii) (C) 中出现的十二条切线的一般集合以 120 种本质不同的方式出现。这个故事的某些部分为人熟知,其他一些部分在经典上已知(对 Zeuthen、Zariski、Coble、Mumford 等人)。这一统一图景出奇地错综复杂,并联系了许多优美的构造,包括 Recillas 的三次构造与 Shioda 的 E8-Mordell-Weil 格。