亚椭圆方程的隧穿估计与近似可控性

本文研究紧致流形 $\mathcal{M}$ 上涉及“平方和”算子 $\mathcal{L}$ 的方程的定量唯一延拓估计，假设：$(i)$ 确保 $\mathcal{L}$ 亚椭圆性的 Chow-Rashevski-Hörmander 条件，以及 $(ii)$ $\mathcal{M}$ 与 $\mathcal{L}$ 系数的解析性。第一个结果是针对 $\mathcal{L}$ 的归一化本征函数 $\varphi$ 从非空开集 $\omega\subset \mathcal{M}$ 得出的隧穿估计 $\|\varphi\|_{L^2(\omega)} \geq Ce^{- \lambda^{\frac{k}{2}}}$，其中 $k$ 是 $\mathcal{L}$ 的亚椭圆性指数，$\lambda$ 是本征值。主要结果是亚椭圆波动方程 $(\partial_t^2+\mathcal{L})u=0$ 解的稳定性估计：对于 $T>2 \sup_{x \in \mathcal{M}}(dist(x,\omega))$（此处 $dist$ 为次黎曼距离），在 $(0,T)\times \omega$ 上对解的观测可确定其数据。估计中涉及的常数为 $Ce^{c\Lambda^k}$，其中 $\Lambda$ 为数据的典型频率。随后我们证明了亚椭圆热方程 $(\partial_t+\mathcal{L})v=1_\omega f$ 在任意时间的近似可控性，其具有依赖于 $k$ 的适当（指数）代价。在 $k=2$（Grushin，Heisenberg 等）的情况下，我们进一步证明了在较长时间内具有多项式代价的对轨迹的近似可控性。我们还解释了如何放宽解析性假设，以及在某些情况下如何引入边界 $\partial \mathcal{M}$。大多数结果在一族 Grushin 型算子上被证明是最优的。主要证明依赖于作者在 arxiv:1506.04254 中发展的通用策略。