用于含缺陷 3D 晶格上长程势快速网格求和的 Tucker 张量方法

本文提出了一种基于秩结构化张量表示的方法，用于在具有多个缺陷和非矩形几何形状的 3D 晶格上快速求和长程势。这是我们近期技术的重大推广，该技术利用正则张量分解在矩形 $L\times L \times L$ 晶格上进行基于网格的静电势求和，相较于传统方法实现了 $O(L)$ 的计算复杂度，而非 $O(L^3)$。生成的晶格求和被计算为 Tucker 或正则表示，其方向向量通过对移位参考张量的生成向量进行一维求和而组装，这些生成向量预先在 3D 边界框内的大 $N\times N \times N$ 表示网格上计算得出。缺陷的张量数值处理以代数方式执行，即简单地对正则或 Tucker 格式下的张量进行求和。为了减小所得势求和的张量秩的显著增加，应用了基于广义约化高阶 SVD 方案的 $\varepsilon$-秩约化过程。对于正则/Tucker 张量和的约化高阶 SVD 近似，我们证明了关于侧矩阵丢弃奇异值的相对范数下的稳定误差界。所需存储量随一维网格尺寸线性缩放，为 $O(N)$，而数值成本估计为 $O(N L)$。数值测试证实了所提出的张量求和方法的效率：我们展示了在 Matlab 实现中，可以在几秒钟内计算出含缺陷/杂质的 3D 晶格上数百万个 Newton 核的和。