Dixmier 理想中的 Trotter-Kato 乘积公式

本文表明，对于某类 Kato 函数，Trotter-Kato 乘积公式在 Dixmier 理想 $C_{1,\infty}$ 中按由 $\times_{1,\infty}$-范数定义的拓扑收敛。此外，该拓扑下的收敛速率继承了相应算子范数收敛的误差界估计。自 [24]、[14] 以来，这一点已为人知。注意该程序的一个微妙之处在于相应拓扑下收敛速率的问题。由于 Trotter-Kato 乘积公式的极限是强连续半群，对于 von Neumann-Schatten 理想，该拓扑是迹类理想 $C_1(H)$ 上的迹范数 $\times_1$。此时极限是 Gibbs 半群 [25]。对于自伴 Gibbs 半群，收敛速率首次在 [7] 和 [9] 中估计。作者考虑了 Gibbs-Schrödinger 半群的情形。他们在这些论文中仔细研究了（指数）Trotter 公式的收敛速率对 Schrödinger 生成元中势的光滑性的依赖。该方向上的首个抽象结果归于 [19]。本文提出并倡导了提升 Trotter-Kato 乘积公式算子范数收敛速率以估计迹范数收敛速率的一般方案。