酉群的 Trotter-Kato 乘积公式

设 $A$ 和 $B$ 是可分希尔伯特空间中的非负自伴算子，且其形式和 $C$ 是稠定算子。本文证明了 Trotter 乘积公式在虚时间情形下在 $L^2$-范数意义下成立，即对希尔伯特空间中的任意元素 $h$ 和任意 $T > 0$，有\n\n\begin{displaymath} \lim_{n\to+\infty}\int^T_0 \|(e^{-itA/n}e^{-itB/n})^nh - e^{-itC}h\|^2dt = 0 \end{displaymath}\n\n该结果对于 Trotter-Kato 乘积公式\n\n\begin{displaymath} \lim_{n\to+\infty}\int^T_0 \|(f(itA/n)g(itB/n))^nh - e^{-itC}h\|^2dt = 0 \end{displaymath}\n\n也成立，其中 $f(\cdot)$ 和 $g(\cdot)$ 是所谓的全纯 Kato 函数；我们还推导了此类函数中任意函数的典范表示。