广义相对论中的三线性补偿紧致性与伯内特猜想

考虑流形 $\mathcal M$ 上满足爱因斯坦真空方程 $\mathrm{Ric}(h_n)=0$ 的 $C^4$ 洛伦兹度规序列 $\{h_n\}_{n=1}^{+\infty}$。假设 $\mathcal M$ 上存在光滑洛伦兹度规 $h_0$ 使得 $h_n\to h_0$ 在紧集上一致收敛。并假设在任意紧集 $K\subset \mathcal M$ 上，存在递减正数序列 $\lambda_n \to 0$ 使得 $$\|\partial^{\alpha} (h_n - h_0)\|_{L^{\infty}(K)} \lesssim \lambda_n^{1-|\alpha|},\quad |\alpha|\geq 4.$$ 众所周知，代表“高频极限”的 $h_0$ 未必是爱因斯坦真空方程的解。然而，伯内特猜想 $h_0$ 必等距于爱因斯坦-无质量 Vlasov 系统的解。本文中，我们证明伯内特猜想，附加假设 $\{h_n\}_{n=1}^{+\infty}$ 与 $h_0$ 还容许 $\mathbb U(1)$ 对称性并满足椭圆规范条件。证明使用微局部缺陷测度——我们将恰当定义的微局部缺陷测度识别为极限时空的 Vlasov 测度。为证明此测度确实服从 Vlasov 方程，我们需要某些特殊抵消，其依赖于爱因斯坦方程的精确结构。这些抵消关联于（半线性）椭圆与（拟线性）双曲方程解的一种新的“三线性补偿紧致性”现象。