传输与界面：Wasserstein距离的不确定性原理

设$f: [0,1]^d \rightarrow \mathbb{R}$为具有零均值的连续函数，并将$f_{+} = \max(f, 0)$与$f_{-} = -\min(f, 0)$解释为两个测度的密度。我们证明，若从$f_{+}$到$f_{-}$的传输代价很小（就Wasserstein距离$W^1$而言），则节点集$\left\{x \in (0,1)^d: f(x) = 0 \right\}$必然很大（“如果总是容易买到牛奶，那一定有很多超市”）。更精确地，我们证明$$W_1(f_+, f_-) \cdot \mathcal{H}^{d-1}\left\{x \in (0,1)^d: f(x) = 0 \right\} \gtrsim_{d} \left( \frac{\|f\|_{L^1}}{\|f\|_{L^{\infty}}} \right)^{4 - \frac1d} \|f\|_{L^1} \, .$$我们将此“不确定性原理”应用于高维度量Sturm-Liouville理论，以表明椭圆算子的特征函数的线性组合不可能具有任意小的零集。