走向非线性：$p$-正则性理论、应用与发展

我们介绍了奇异算子非线性方程以及由奇异映射给出约束的非线性优化问题分析的最新进展。这些结果是在过去四十年中成功发展起来的 $p$-正则性理论框架内取得的。我们通过其在数学各个领域的退化问题中的应用来说明该理论。特别地，我们探讨了在奇异情况下描述非线性方程解集的切锥问题。$p$-因子算子的结构被用于提出最优性条件并构造求解退化非线性方程和优化问题的数值方法。本文提出的方法可被视为针对退化问题求解的首批数值方法，如 Van der Pol 微分方程、带小参数的边值问题、Poincaré 小参数方法失效的偏微分方程、非线性退化动力系统等。$p$-正则性理论有各种实际应用，包括结构工程、复合材料和材料设计。例如，该理论可应用于分析具有不规则或复杂特性的材料的行为。通过考虑高阶导数，可以对材料对外力（如应力或温度变化）的响应进行建模和预测。在地球物理学中，$p$-正则性理论可用于分析和解释从地震勘探、重力测量或电磁勘探中获得的复杂数据。该理论还在控制系统、几何与拓扑分析、生物力学等许多领域出现的非线性微分方程的分析中找到了应用。