以置换群给出黎曼假设的一个初等表述

本文研究黎曼假设与命题 $\forall n, ~g(n) \le e^{\sqrt{p_n}}$ 之间的关系，其中 $g(n)$ 为对称群 $S_n$（$n$ 个元素的对称群）中元素的最大阶，$p_n$ 为第 $n$ 个素数。我们证明该不等式在黎曼假设下成立。我们还通过证明：若黎曼假设不成立且黎曼 zeta 函数零点实部集合的上确界 $\sup \{\Re(\rho)~|~\zeta(\rho) = 0\}$ 不等于 1，则 $\exists n,~g(n)>e^{\sqrt{p_n}}$，在建立其逆向上取得进展。