通过 Mellin 变换、幂级数与反射关系证明 Riemann 假设

本文借助 Mellin 变换的性质提出了 Riemann 假设的一个证明。函数 $\mathfrak{G}_{\eta}\left(t\right)$ 定义在非负实数集合 $\bar{\mathbb{R}}_+$ 上，由一个特殊幂级数表示，使得函数 $\mathfrak{G}_{\eta}\left(t\right)$ 的 Mellin 变换 $\hat{\mathfrak{G}}_{\eta}\left(s\right)$ 在基础带 $0<\operatorname{Re} s <1/2$ 内不为零。在此带内，Riemann zeta 函数 $\zeta\left(1-s\right)$ 的每一个零点都是函数 $\hat{\mathfrak{G}}_{\eta}\left(s\right)$ 的零点。因此，证明了 Riemann zeta 函数 $\zeta\left(s\right)$ 在带 $1/2<\operatorname{Re} s <1$ 内不存在零点。在 $s\neq 0,1$ 时围绕直线 $\operatorname{Re} s =1/2$ 成立的反射关系证明了 Riemann zeta 函数 $\zeta\left(s\right)$ 在带 $0<\operatorname{Re} s<1/2$ 内不存在零点。最终，证明了 Riemann zeta 函数 $\zeta\left(s\right)$ 在带 $0<\operatorname{Re} s<1$ 内且 $\operatorname{Re} s\neq 1/2$ 时不存在零点。